1. Despeje
Si la ecuación no tiene término bx, deja sola a x² y saca raíz. Recuerda que hay dos raíces: una positiva y una negativa.
x² − 49 = 0
x² = 49
x = ±√49
x₁ = 7 x₂ = −7
Ecuaciones cuadráticas
Cuando la incógnita está al cuadrado, puede haber dos respuestas.
También se llaman ecuaciones de segundo grado, porque el exponente más grande de la incógnita es 2. Las usarás para resolver problemas de áreas, de movimiento y de números.
Tiempo sugerido: 30–40 min de explicación + 40 min de práctica3 métodos5 recursos
La forma general
ax² + bx + c = 0
a · x²Término cuadrático. a nunca puede ser 0.
b · xTérmino lineal. Puede faltar (b = 0).
cTérmino independiente. También puede faltar.
= 0Siempre igualamos a cero antes de resolver.
Ejemplo: en 2x² − 7x + 3 = 0, los valores son a = 2, b = −7 y c = 3. Fíjate que el signo es parte del número.
Tres formas de resolverlas
2. Factorización
Busca dos números que multiplicados den c y sumados den b. Aquí: 2 × 3 = 6 y 2 + 3 = 5.
x² + 5x + 6 = 0
(x + 2)(x + 3) = 0
x + 2 = 0 o x + 3 = 0
x₁ = −2 x₂ = −3
3. Fórmula general
Cuando no encuentras los números, usa la fórmula. Sustituye a, b y c con todo y signo.
x = −b ± √b² − 4ac2a
Ejemplo con la fórmula general
Sigue el orden: primero identifica a, b y c; luego sustituye; resuelve lo que está dentro de la raíz; y al final separa el ± en dos respuestas.
Compruébalo: con x = 3, 2(9) − 7(3) + 3 = 18 − 21 + 3 = 0 ✓
2x² − 7x + 3 = 0a = 2, b = −7, c = 3
x = −(−7) ± √(−7)² − 4(2)(3)2(2)
x = 7 ± √49 − 244 = 7 ± √254 = 7 ± 54
x₁ = 7 + 54 = 3
x₂ = 7 − 54 = 12
¿Cómo identifico a, b y c?
a, b y c son los números que acompañan a cada parte de la ecuación, pero solo se pueden leer cuando la ecuación está en su forma general: ax² + bx + c = 0. Antes de sustituir en la fórmula, sigue estos 4 pasos:
- 1Pasa todo a un lado. Del otro lado del = debe quedar solo el 0. Lo que pasa al otro lado cambia de signo.
- 2Ordena los términos. Primero el que tiene x², luego el que tiene x y al final el número solo.
- 3Copia cada número con su signo. El signo que está antes del término es parte del número: en −4x, b = −4, no 4.
- 4Revisa lo que no se ve. Si x² o x no tienen número, vale 1 (o −1 si tiene signo menos). Si falta un término, vale 0.
| Ecuación | Qué hacer | a | b | c |
|---|---|---|---|---|
| 3x² + 5x − 2 = 0 | Ya está en orden. | 3 | 5 | −2 |
| x² − 4x + 7 = 0 | Si x² no tiene número, vale 1. | 1 | −4 | 7 |
| −2x² + x = 0 | Falta el término sin x: c vale 0. | −2 | 1 | 0 |
| x² = 9 | Pasa el 9 restando: x² − 9 = 0. Falta el término con x. | 1 | 0 | −9 |
| 5 − x² = 3x | Pasa 3x restando y reordena: −x² − 3x + 5 = 0. | −1 | −3 | 5 |
¿Por qué la fórmula tiene ±?
Una raíz cuadrada tiene dos respuestas
Piensa: ¿qué número multiplicado por sí mismo da 25? El 5, porque 5 × 5 = 25. Pero también el −5, porque (−5) × (−5) = 25: menos por menos da más.
5² = 25
(−5)² = 25
Por eso, cuando despejas x² = 25, la respuesta no es solo 5: es x = ±5. La fórmula general sale de despejar una x que está al cuadrado, así que también lleva una raíz, y con ella, el ±.
El ± te da las dos respuestas de un jalón
El símbolo ± se lee “más o menos” y significa que haces la cuenta dos veces: una sumando la raíz y otra restándola. Cada cuenta te da una solución.
x = 7 ± 54Del ejemplo de arriba
Con +: 124 = 3
Con −: 24 = 0.5
Lo que se ve en la gráfica
La parábola es simétrica: tiene un centro, y las dos soluciones quedan a la misma distancia de ese centro, una a la izquierda y otra a la derecha. La fórmula se puede leer así:
x = −b2a ± √b² − 4ac2a
- −b2a es el centro. En el ejemplo: 7 ÷ 4 = 1.75.
- √b² − 4ac2a es la distancia del centro a cada solución: 5 ÷ 4 = 1.25.
- El ± dice: muévete esa distancia hacia los dos lados: 1.75 − 1.25 = 0.5 y 1.75 + 1.25 = 3.
¿Siempre hay dos soluciones? Casi siempre. Si lo que está dentro de la raíz da 0, sumar o restar 0 da lo mismo, así que las dos soluciones son iguales (la curva solo toca la línea). Si da un número negativo, no hay ningún número que multiplicado por sí mismo dé negativo, así que no hay solución real. Lo verás más abajo en “¿Cuántas soluciones tiene?”.
Un problema real
El terreno de la cancha
Un terreno rectangular tiene un largo que mide 3 m más que su ancho, y su área es de 40 m². ¿Cuánto mide cada lado?
Llamemos x al ancho. Entonces el largo es x + 3.
La respuesta −8 no sirve porque una medida no puede ser negativa. En los problemas reales, siempre revisa si cada respuesta tiene sentido.
x(x + 3) = 40ancho × largo = área
x² + 3x − 40 = 0Igualamos a cero
(x + 8)(x − 5) = 08 × (−5) = −40 y 8 − 5 = 3
x = 5 o x = −8
Ancho 5 m, largo 8 m
¿Cuántas soluciones tiene?
Lo que está dentro de la raíz, b² − 4ac, se llama discriminante y te dice cuántas soluciones hay antes de terminar. En la gráfica, las soluciones son los puntos donde la curva (una parábola) toca la línea horizontal.
Recursos
VIDEOEcuaciones cuadráticas: introducciónMatemáticas profe Alex · YouTube
VIDEOEcuación cuadrática por fórmula generalMatemáticas profe Alex · YouTube
LECTURAMétodos de resolución de ecuaciones cuadráticasSEP · Nueva Escuela Mexicana
LECTURAComprender la fórmula cuadráticaKhan Academy
EJERCICIOSFórmula cuadrática (práctica)Khan Academy
¡Tips para no equivocarte!
Antes de todo, pasa todo a un lado para que quede = 0.
Escribe a, b y c aparte con su signo antes de sustituir. Si b = −7, entonces −b = 7.
Comprueba cada solución sustituyéndola en la ecuación original: debe darte 0.
¡Cuidado! El ± significa que casi siempre hay dos respuestas. No te quedes solo con la del +.
Ponte a prueba
Resuélvelos en tu cuaderno. Intenta cada uno al menos 10 minutos antes de ver la respuesta.
- x² − 81 = 0
- x² + 7x + 10 = 0
- x² − 5x = 0
- x² − 4x − 5 = 0 (usa la fórmula general)
- Un cuadrado tiene 144 cm² de área. ¿Cuánto mide su lado?
- x = 9 y x = −9
- (x + 2)(x + 5) = 0 → x = −2 y x = −5
- x(x − 5) = 0 → x = 0 y x = 5
- x = 4 ± √362 = 4 ± 62 → x = 5 y x = −1
- x² = 144 → x = 12 cm (la −12 no sirve porque es una medida)