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Sucesiones aritméticas y geométricas

Encuentra la regla y podrás saber cualquier número de la lista.

Una sucesión es una lista ordenada de números que sigue una regla. A cada número le llamamos término, y a su lugar en la lista, posición (n).

Tiempo sugerido: 20–30 min de explicación + 30 min de práctica2 tipos de sucesión6 recursos

Los dos tipos

SE SUMA SIEMPRE LO MISMO

3+47+411+415+419…

La cantidad que se suma se llama diferencia (d). Aquí d = 4. Para encontrarla, resta un término menos el anterior: 7 − 3 = 4.

a_n = a₁ + (n − 1)·d

¿Cuál es el término 20?

a₂₀ = 3 + (20 − 1)·4

a₂₀ = 3 + 19·4 = 3 + 76

a₂₀ = 79

Si simplificas la regla, te queda una expresión para cualquier posición: a_n = 3 + 4n − 4 = 4n − 1.

SE MULTIPLICA SIEMPRE POR LO MISMO

3×26×212×224×248…

El número por el que se multiplica se llama razón (r). Aquí r = 2. Para encontrarla, divide un término entre el anterior: 6 ÷ 3 = 2.

a_n = a₁ · r^{n − 1}

¿Cuál es el término 8?

a₈ = 3 · 2^{8 − 1}

a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128

a₈ = 384

Fíjate qué rápido crecen: por eso a este crecimiento se le llama exponencial.

Tienes $50 y cada semana guardas $20 más: 50, 70, 90, 110… Es aritmética con d = 20. ¿Cuánto tendrás en la semana 10?

a₁₀ = 50 + (10 − 1)·20 = 50 + 180

a₁₀ = $230

El día 1 lo ve 1 persona, y cada quien se lo manda a 3 amigos: 1, 3, 9, 27… Es geométrica con r = 3. ¿Cuántos lo ven el día 6?

a₆ = 1 · 3^{6 − 1} = 3⁵

a₆ = 243 personas

¿Cómo sé de qué tipo es?

Resta cada término menos el anterior. Si siempre da lo mismo, es aritmética.
Si no, divide cada término entre el anterior. Si siempre da lo mismo, es geométrica.
Si ninguna de las dos funciona, es otro tipo de sucesión (por ejemplo, 1, 4, 9, 16… son los cuadrados).

La diferencia puede ser negativa: en 20, 17, 14, 11… d = −3 (la sucesión baja).

La razón puede ser una fracción: en 80, 40, 20, 10… r = 12 (cada término es la mitad).

Comprueba tu regla con el primer término: si n = 1 no te da a₁, algo está mal.

¡Cuidado! En las fórmulas se usa (n − 1), no n. El primer término no lleva ninguna diferencia ni razón encima.

Resuélvelos en tu cuaderno. Intenta cada uno al menos 10 minutos antes de ver la respuesta.